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투표의 수학
기간 : 2017-04-19 ~ 2017-05-18 당첨자발표 : 2017-05-18

투표의 수학


정치와 수학은 거리가 먼 것처럼 보이지만, 사실 현대 정치학은 수학과 여러 면에서 맞닿아있다.
정치적 사안이나 후보자 지지도와 관련해 통계를 발표하기도 하고,
지지자를 더 모으기 위해 어떤 선택을 해야 할지 게임 이론으로 판단하기도 한다.
그 중에서도 오늘은 정치의 꽃이라고 할 수 있는 투표의 수학에 대해 알아본다.

 

다양한 투표 방법들과 수학의 연결고리는?

 

투표는 문자 그대로 표를 던지는 것, 투표 용지에 의사를 표시하여 일정한 곳에 제출하는 행위를 말한다.
주로 대표자를 뽑거나 정책을 결정할 때 쓰인다.
투표는 국민이 주권을 행사할 수 있는 가장 기본적이고 중요한 수단 중 하나다.

투표권을 보장하는 것은 민주주의 발전을 보여주는 가장 기초적이고 중요한 척도라고 할 수 있다.
이러한 투표가 수학과 밀접한 관계가 있다는 것을 투표의 여러 종류를 살펴보며 확인해 보자.

 

1. 최다득표제 (다수결)

최다득표제는 제일 보편적인 투표 방법으로, 가장 많은 지지를 받은 후보, 정당, 사안이 선택되는 제도다.
우리나라도 다수결에 의한 투표 제도를 채택하고 있는데, 최다득표제는 한 번의 투표로 당선자를 뽑을 수 있으나
과반에 미치지 못하는 지지를 받았을 때에도 당선되는 경우가 있다.
따라서 후보가 여럿 있을 때 다수의 유권자가 싫어하는 후보가 당선되는 모순이 발생하기도 한다.
이러한 모순은 ‘콩도르세의 역설’로 설명 가능하다.

 

콩도르세의 역설

프랑스 대혁명 시대의 정치가이자 수학자인 ‘콩도르세’는 다수결이 만능이 아니라는 것을 설명했다.
이는 최다득표제가 유권자의 선호도를 정확히 반영하지 못하는 현상을 일컫는다.
예를 들어 세 후보 A, B, C에 대하여 3명의 유권자가 한 명은 A>B>C 순으로, 다른 사람은 B>C>A 순으로,
나머지 한 명은 C>A>B 순으로 후보를 선호하였다고 하자.
A와 B에서 A가 과반 득표를 하고, B와 C에서 B가 과반 득표를 한다.
이때, A와 C의 대결에서 A>B이고 B>C이므로 A>C이어야 할 것 같지만 실제로 A와 C의 대결에서 C가 과반 득표를 하게 된다.
이는 단순 다수결을 통한 투표가 유권자들의 선호를 제대로 반영하지 못할 수 있다는 것을 보여준다.

 

2. 점수투표

점수투표는 투표를 하는 사람들의 선호 순위에 따라 점수를 매기고, 이를 합산하여 가장 높은 점수를 얻는 후보, 정당, 사안이 뽑히는 방법이다.
예를 들어, 후보가 4명이고, 어떤 유권자가 A 후보를 가장 선호하고, 그 다음은 C, B, D 후보 순으로 선호한다고 한다.
이때 A 후보는 4점, C 후보는 3점, B 후보는 2점 D 후보는 1점을 얻는다.
이런 식으로 각 유권자로부터 받은 선호 점수를 합하여 가장 많은 점수를 획득한 사람이 당선되는 것이다.
복잡한 절차 없이 한 번에 당선자를 결정할 수 있는 방법으로 수상자를 정하거나 스포츠와 관련된 순위를 매길 때 자주 이용된다.
미국 메이저리그에서 MVP를 선정할 때에도 이 방법을 사용한다.

 

3. 선호투표

선호투표는 점수투표와 매우 흡사하지만, 또 다른 투표 방식이다.
유권자가 후보 1명에게 투표를 하는 방식이 아닌 출마한 후보 모두에게 선호하는 순위를 기입하는 방식이다. 선
호투표제에서는 1순위 기표수로 1차 집계를 하여 과반수를 얻은 후보가 나오면 당선자가 확정된다.
과반수를 얻은 후보가 없을 경우 최하위에 해당하는 후보를 탈락시키고, 그를 1순위로 투표한 사람의 2순위 표를 나머지 후보들에게 나누어준다.
그 이후, 표를 다시 세어, 1순위에 가장 적게 적힌 후보를 명단에서 삭제한다.
이러한 과정을 반복해 마지막으로 과반수를 획득하는 후보가 당선되는 방식이다.
이러한 선호투표는 호주의 상원 의원 선거와 아카데미 후보작의 선정에 이용된다.

 

4. 쌍대비교투표

쌍대비교는 후보들을 두 명씩 짝지어 서로 대결을 붙이는 방식으로 진행된다.
예를 들어 A ,B, C후보가 있을 때, A, B 후보를 서로 비교해 더 많은 지지를 얻는 후보가 1점, 나머지 후보는 0점을 받는다.
(만약 지지자가 같으면 두 후보 모두 0.5점을 얻는다.)
A와 C, B와 C도 서로 대결을 해 가장 많은 점수를 획득한 후보가 당선되는 것이다.

 

5. 찬성투표

찬성투표는 다수결과 비슷하나, 여러 후보에게 동시에 투표를 할 수 있다는 차이점이 있다.
예를 들어, 후보 A, B, C가 있을 때, 유권자가 A와 C 두 명에게 모두 투표할 수 있는 것이다.
이러한 찬성투표 제도는 UN의 사무총장을 뽑을 때 이용되기도 한다.

 

애로우의 불가능성 정리

위에서 여러 투표 제도를 살펴보았다. 이외에도 다양한 투표 제도가 존재한다.
이렇게 많은 투표 제도가 있음에도 불구하고, 완벽한 투표 제도는 존재하지 않는다는 것이 수학적으로 증명되었다.
미국의 경제학자 ‘애로우’는 자신의 박사 학위 논문과 1951년에 출간한 저서 ‘사회적 선택과 개인의 가치’를 통해
‘애로우의 불가능성 정리’를 발표했다.
애로우는 3명 이상의 후보자가 있는 선거에서 철저히 민주적이고 공정한 방법은 수학적으로 존재하지 않다는 것을 증명했다.
이는 비민주적으로 결정해야하거나, 비합리적, 강제적으로 결정해야 하는 경우가 반드시 존재한다는 이야기다.
애로우의 주장에 따라 한 가지 상황을 가정해보자. A, B, C 세 후보 중 대표를 뽑아야 한다.
이때 전체 투표자 수는 300명이고, 그 중 100명의 선호 순위는 A>B>C 또 다른 100명의 선호 순위는 B>C>A, 그리고 나머지 100명의 선호 순위는 C>A>B 라고 하자.
위의 5가지 투표 방법으로는 절대 1위 후보를 추려내지 못함을 알 수 있다.
뿐만 아니라 5가지 방법 이외에 어떤 공정한 투표 방법으로도 위의 경우는 1위 후보를 추려낼 수 없다.
이처럼 애로우의 불가능성 정리는 현대의 민주주의라는 정치 체계가 수학적으로, 그리고 구조적으로 완벽하지 않은 정치 체계라는 것을 보여준다.
이는 민주주의가 윤리적으로 틀렸다는 것이 아니라 모든 사안을 항상 민주적으로 결정하는 것은 불가능하다는 것을 뜻한다.
이러한 연구의 공로를 인정받은 애로우는 1972년 노벨 경제학상을 수상했다.

 

어떠한 투표제도도 공정성의 기준을 완벽하게 충족시키지 못한다는 것이 아쉽다.
하지만 애로우의 불가능성 정리는 제도의 한계와 장점을 파악하여 목적과 상황에 맞는 가장 바람직한 제도를 만들어내기 위해 노력할 수 있는 여지를 남긴 사례라고 파악할 수 있다.

 

 

 

[정답]

 

선호투표를 통해 당선되기 위해서는 과반수의 지지가 필요하다.

투표에 참여한 인원의 수는 20명이므로 10명 이상의 지지를 얻은 후보가 당선되게 된다.

1순위 기표수를 살펴보았을 때 10명 이상의 지지를 받은 후보가 없으므로 가장 적게 표를 받은 D 후보가 탈락하게 된다.

이때, D 후보를 1순위로 지지한 유권자의 표는 2순위인 C 후보의 표로 이동하게 된다.

 

 

여전히 과반수 이상의 지지를 얻은 후보가 없으므로 가장 낮은 지지를 받은 B 후보가 탈락하고

B 후보를 1순위로 지지한 유권자의 표는 2순위인 C 후보의 표로 이동한다.

 

 

이때, C 후보가 13명의 득표로 과반수 이상의 지지를 받게 되므로 선호투표 방법을 활용하였을 때 당선자는 C이다.

당첨을 축하드립니다!

ID : june257

 

 

참여한 친구들

번호 제목 센터명 작성자 등록일
1정답june2572017-04-20